| [Návštěvník (111.8.*.*)]Odpovědi [Číňan ] | Čas :2020-04-02 | Vzhledem k poli F je jeho algebraické uzavření rovnocenné každé z následujících vlastností:
Neredukovatelné polynomy pouze a jen tehdy, pokud jsou polynomy prvního stupně
Pole F je algebraické uzavřené pole pouze tehdy, pokud je ireducibilní polynom v kruhu F [x] a může být pouze polynomem prvního stupně.
Tvrzení, že „polynom prvního stupně je neredukovatelný“ platí pro každou doménu. Jestliže F je algebraické uzavřené pole a p (x) je neredukovatelný polynom F [x], pak má nějaký kořen a, takže p (x) je násobkem x - a. Protože p (x) je neredukovatelné, znamená to, že pro některé k ∈ F \\ {0} existuje p (x) = k (x - a). Na druhé straně, pokud F není algebraické uzavřené pole, pak existuje nějaký nekonstantní polynom p (x) v F [x], který nemá kořen v F. Nechť q (x) je neredukovatelný faktor p (x). Protože p (x) nemá kořen v F, q (x) nemá kořen v F. Proto je stupeň q (x) větší než jeden, protože každý stupeň polynomu má kořen v F.
Každý polynom je produktem polynomu prvního stupně
Pole F je algebraické uzavřené pole, a pokud a pouze pokud je každý koeficient n ≥ 1 ve stupni F, lze polynom p (x) rozložit na lineární faktor. To znamená, že existují prvky k, x1, x2, ..., xn pole F tak, že p (x) = k (x - x1) (x - x2) ··· (x - xn).
Pokud má F tuto vlastnost, pak má každý nekonstantní polynom ve F [x] kořen v F; to znamená, že F je algebraické uzavřené pole. Na druhé straně, pokud F je algebraické uzavřené pole, pak podle předchozí vlastnosti a pro libovolné pole K může být jakýkoli polynom v K [x] zapsán jako produkt neredukovatelného polynomu a tato vlastnost je odvozena jako pravdivá pro F.
Každý automorfismus Fn má vlastní vektor
Pole F je algebraické uzavřené pole. Pokud a pouze pro každé přirozené číslo n, má jakékoli lineární mapování z F na sebe určitý znakový vektor.
Automobilismus F ^ n má vektor funkce, a to pouze tehdy, má-li jeho polynom funkce určitý kořen. Proto, pokud F je algebraické uzavřené pole, má každý automorfismus F ^ n vlastní vektor. Na druhou stranu, pokud má každý automorfismus F ^ n vektor funkce, nechť p (x) je prvkem F [x]. Vydělíme-li koeficientem prvního členu, dostaneme další polynom q (x), který má kořeny, pokud a pouze pokud má kořen p (x). Pokud ale q (x) = x ^ n-1x ^ n-1 ··· a0, pak q (x) je charakteristický polynom následující matice přátel:
0 0 0 …… 0 -a01 0 0 …… 0 -a10 1 0 …… 0 -a2
Rozklad racionálních výrazů
Pole F je uzavřené algebraické pole. Pokud a pouze tehdy, lze-li každou jednosměrnou racionální funkci, jejíž koeficienty jsou v F, napsat jako součet polynomiální funkce a několik racionálních funkcí tvaru a / (x - b) ^ n, kde n je Přirozená čísla, aab jsou prvky F.
Jestliže F je algebraické uzavřené pole, pak vzhledem k tomu, že neredukovatelné polynomy ve F [x] jsou všechny o jeden stupeň, podle věty o rozkladu částečné frakce platí výše uvedené vlastnosti.
Na druhou stranu předpokládejme, že výše uvedené vlastnosti platí pro doménu F. Nechť p (x) je ireducibilním prvkem v F [x]. Potom lze racionální funkci 1 / p napsat jako součet polynomiální funkce q a několik racionálních funkcí tvaru a / (x - b) ^ n. Proto racionální výrazy
Lze napsat jako kvocient dvou polynomů, kde jmenovatel je součinem polynomů prvního stupně. Protože p (x) je neredukovatelné, musí být schopen tento produkt rozdělit, takže musí být také polynomem prvního stupně. |
|
